# Pontos aplanáticos

Contribuidor: Stas Fainer

Pontos aplanáticos de um sistema óptico são pontos especiais em seu eixo óptico, tais que "raios partindo de um deles irão todos convergir para, ou parecer divergir do outro ponto".

- Elipse: os dois focos da lente/espelho elíptico são pontos aplanáticos, já que luz emitida de um foco irá convergir rumo ao outro.
- Esfera: uma lente esférica tem dois pontos aplanáticos, dentro e fora da esfera - para mais detalhes veja a simulação.
- Hipérbole: os dois focos da simulação de Espelho hiperbólico também são pontos aplanáticos.

Dados dois pontos com coordenadas horizontais \(x_1\) e \(x_2\), coordenadas verticais idênticas, e dado os indíces refrativos fora e dentro do nosso elemento óptico como \(n_1\) e \(n_2\) (respectivamente), para esses dois pontos serem pontos aplanáticos, o limite do nosso elemento óptico deve fazer com que seja verdade\begin{equation}k_1 n_1 \sqrt{ (x - x_1)^2 + y^2} + k_2 n_2 \sqrt{ (x - x_2)^2 + y^2} = E\end{equation} tal que \(k_i=1\) ou \(-1\) se o raio connectando \(x_i\) e o limite do nosso elemento óptico for real ou imaginário, respectivamente, e \(E\) for uma constante para a qual essa equação possui uma solução não-trivial. Essa equação (que pode ser derivada utilizando o princípip de Fermat) é uma equação de uma Oval Cartesiana, da qual as seções cônicas são casos especiais.

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